Kamis, 17 April 2014

TUGAS STATISTIKA BAB 5


MOMEN,KEMIRINGAN DAN KURTOSIS

  1. MOMEN
             Misal diketahui variabel  X dengan harga X1, X2, X3 . . . .   Xn. Jika A sebuah bilangan tetap dan r = 0, 1, 2, 3,      maka momen di sekitar A disingkat m’r didefinisikan oleh
Dengan

n = , Xi = tanda kelas interval dan fi = frekuensi yang sesuai dengan Xi.
Dengan menggunakan cara coding, rumusnya:

m’r = P = Panjang kelas, C = Variabel koding.
Dari m’r harga-harga mr dapat ditentukan berdasarkan hubungan:
m2 = m2’ – (m1’)2
m3 = m3’ – 3m1’ + m2 + 2(m1’)3
m4 = m4’ – 4m1’ + 6 (m1’) m2 – 3 (m1’)
 
Untuk menghitung momen disekitar rata-rata, untuk data dalam daftar distribusi frekuensi, kita lakukan sebagai berikut:
TABLE  5.1: Table pembantu untuk mencari m
Data
f1
Ci
f1Ci
f1C12
f1C13
f1C14
60 – 63
64 – 67
68 – 71
72 – 75
76 – 70
5
18
42
27
8
-2
-1
0
1
2
-10
-18
0
27
16
20
18
0
37
42
-40
-18
0
27
64
80
18
0
27
128
Jumlah
100
15
97
35
253
Dapat dihitung:

m1 = 
m2 = 
m3 = 
m4 = 

Sehingga dengan menggunakan hubungan di atas:
m2 = m2’ – (m1’)2 = 15,52 – 0,36 = 15,16
m3 = m3’ – 3m1’ m2’ + 2(m1’)3 = 5,28 – 3x0,6x15,52 +2x (0,6) = 21,456
m4 = m4’ – 4m1’ m3’ + 6 (m1’)2 (m2’)...........
=  40,48 – 4x0,6 x 5,28 + 6 x 0,6         2x15,52 – 3x0,42
= 60,9424
Jadi Varian S2 = m2 = 15,16
 
B.KEMIRINGAN
Kemiringan (skewness) berarti ketidaksimetrisan. Sebuah distribusi dikatakan simetris apabila nilai-nilainya tersebar merata disekitar nilai rata-ratanya. Sebagai contoh, distribusi data berikut simetris terhadap nilai rata-ratanya, 3.
X
1
2
3
4
5
frek (f)
5
9
12
9
5

Pada contoh gambar berikut, distribusi data tidak simetris. Gambar pertama miring (menjulur) ke arah kiri dan gambar ke-2 miring ke arah kanan.


X
1
2
3
4
5
frek (f)
5
9
12
9
5

Pada distribusi data yang simetris, mean, median dan modus bernilai sama.


Beberapa langkah-langkah perhitungan digunakan untuk menyatakan arah dan tingkat kemiringan dari sebaran data. Langkah-langkah tersebut diperkenalkan oleh Pearson.

Koefisien kemiringan(Coefficient of Skewness):


S_k=\dfrac{3(mean-median)}{standar\ deviasi} Interpretasi: Untuk distribusi data yang simetris, Sk = 0. Apabila distribusi data menjulur ke kiri (negatively skewed), Sk bernilai negatif, dan apabila menjulur ke kanan (positively skewed), SK bernilai positif. Kisaran untuk SK antara -3 dan 3.

Ukuran kemiringan yang lain adalah koefisien β1 (baca ‘beta-satu’):

{\rm populasi}:\ {\beta }_1=\dfrac{{\mu }^2_3}{{\mu }^3_2};\ \ \ \ \ {\rm sampel}:\ b_1=\dfrac{m^2_3}{m^3_2}

dimana:

m_3=\dfrac{\Sigma {\left(x_i-x\right)}^3}{n-1};{\rm dan}\ m_2=\dfrac{\Sigma {\left(x_i-x\right)}^2}{n-1}

Interpretasi:

Distribusi dikatakan simetris apabila nilai b1 = 0. Skewness positif atau negatif tergantung pada nilai b1 apakah bernilai positif atau negatif.
 
C.KURTOSIS
Kurtosis merupakan ukuran untuk mengukur keruncingan distribusi data.
Distribusi pada gambar di atas semuanya simetris terhadap nilai rata-ratanya. Namun bentuk ketiganya tidak sama. Kurva berwarna biru dikenal sebagai mesokurtik (kurva normal), kurva berwarna merah dikenal sebagai leptokurtik (kurva runcing) dan kurva berwarna hijau dikenal sebagai platikurtik (kurva datar).
Kurtosis dihitung dengan menggunakan koefisien Pearson, β2 (baca ‘beta – dua’).

{\rm populasi}:\ {\beta }_2=\dfrac{{\mu }_4}{{\mu }^2_2};\ \ \ \ \ {\rm sampel}:b_2=\dfrac{m_4}{m^2_2}

dimana:

m_4=\dfrac{\Sigma {\left(x_i-x\right)}^4}{n-1};{\rm dan}\ m_2=\dfrac{\Sigma {\left(x_i-x\right)}^2}{n-1}

Interpretasi:

Distribusi dikatakan:
  • Mesokurtik (Normal) jika b2 = 3
  • Leptokurtik jika b2 > 3
  • platikurtik jika b2 < 3
  •  


Referensi:
  • Mario Triola. 2004. Elementary Statistics. 9th Edition. Pearson Education 
  • Sumber :http://hidayahstiess.blogspot.com/2014/04/bab-v-momenkemiringan-dan-kurtosis.html
Diposting oleh di

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Langganan: Posting Komentar (Atom)